Condiciones de Frontera e iniciales

La expresión matemática de las condiciones térmicas en las fronteras se llama condiciones de frontera, en coordenadas rectangulares se puede expresar como:

T(x,y,z,0) = f(x,y,z)

1 Condición de frontera de temperatura específica:

donde T1 y T2 son las temperaturas específicas en las superficies en x 0 y x L, respectivamente. Las temperaturas específicas pueden ser constantes, como en el caso de la conducción estacionaria de calor, o pueden variar con el tiempo.

2 Condición de frontera de flujo específico de calor:

Cuando existe información suficiente acerca de las interacciones de energía en una superficie, puede  ser posible determinar la velocidad de transferencia de calor mediante la ley de Fourier:

Caso especial 1: Frontera aislada

La transferencia de calor a través de una superficie apropiadamente aislada se puede tomar como cero, ya que el aislamiento adecuado reduce la transferencia de calor a través de una superficie a niveles despreciables. Por lo tanto, una superficie bien aislada se puede considerar como una con un flujo específico de calor de cero. Entonces, la condición de frontera sobre una superficie perfectamente aislada se expresa como:

Caso especial Simetría Térmica

Algunos problemas de transferencia de calor poseen simetría térmica, por ejemplo, las dos superficies de una placa grande caliente, de espesor L, suspendidas verticalmente en el aire, estarán sujetas a las mismas condiciones térmicas y, por lo tanto, la distribución de temperatura en una de las mitades de ella será igual a la de la otra mitad.

3 Condición de convección de frontera:

Para la transferencia de calor unidimensional en la dirección x, en una placa de espesor L, las condiciones de frontera sobre ambas superficies se pueden expresar como:

Donde h₁ y h₂ son los coeficientes de transferencia de calor por convección y T₁ y T₂ son las temperaturas de los medios circundantes sobre los dos lados de la placa.

4 Condición de radiación de frontera:

Para una transferencia unidimensional de calor en la dirección x, en una placa de espesor L, las condiciones de radiación de frontera sobre ambas superficies se pueden expresar como:

Donde ε₁ y ε₂ son las emisividades de las superficies, σ =5.67 x10^-8 W/m²K⁴ es la constante de Stefan-Boltzmann y T_{alred, 1} y T_{alred, 2} son las temperaturas promedio de las superficies circundantes de los dos lados de la placa, respectivamente.

5 Condiciones de frontera en la interfase:

 Las condiciones de frontera en una interfase se basan en los requisitos de que los dos cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura en el área de contacto y una interfase no puede almacenar energía y, por lo tanto, el flujo de calor sobre ambos lados de la interfase debe ser el mismo. Las condiciones de frontera en la interfase de dos cuerpos A y B, en contacto perfecto en x =x0 se pueden expresar como:

 Donde k_A y k_B son las conductividades térmicas de las capas A y B, respectivamente.

6 Condiciones de frontera generalizada:

En general, una superficie puede comprender convección, radiación y flujo especificado de calor simultáneamente. En esos casos se obtiene una vez más la condición de frontera a partir de un balance de energía superficial, expresado como:

Ecuación unidimensional combinada de la conducción de calor

Una revisión de las ecuaciones unidimensionales de conducción de calor en régimen transitorio, para pared plana, el cilindro y la esfera, dice que las tres se pueden expresar como:

Condiciones:

Si n = 0 à r = x

Si n = 1 (Es para un cilindro)

Si se utiliza k promedio= constante:

Si n = 2 (Es para una esfera)

Ecuación general de conducción de calor

Se tiene:

Condiciones:

1) Régimen estacionario (ecuación de Poisson) 

2) Régimen transitorio sin generación de calor (ecuación de difusión)

3) Régimen estacionario sin generación de calor (ecuación de Laplace)

Ecuaciones unidimensionales de conducción de calor

Ecuación unidimensional de conducción de calor en un cilindro:
Link de descarga: http://eduportfolio.org/fichiers/download/3048909/1

Ecuación unidimensional de conducción de calor en una esfera
Link de descarga: http://eduportfolio.org/fichiers/download/3047842/1

Ecuación unidimensional de la conducción de calor

La conducción de calor ocurre de manera unidimensional, bidimensional y tridimensional.

La conductividad térmica depende de la temperatura, la cual solo es una magnitud (°C), mientras que la transferencia de calor es un vector, es decir que tiene magnitud y dirección.

Por lo general, la transferencia ocurre en 3 dimensiones.

- Si la conducción de calor pasa por un medio rectangular:

(x,y,z)

Dónde las variables x,y,z son el alto, largo y ancho.

-Si la conducción de calor pasa por un cilindro:

(r, ϕ, z)

Dónde:

r Es el radio del cilindro

ϕ Es el ángulo que se forma con los ejes

z Es la altura del cilindro.

- Si la conducción de calor pasa por una esfera:

(r, ϕ, ϴ)

Dónde:

r Es el radio del cilindro

ϕ y ϴ Son los ángulos de la esfera.

La conducción de calor ocurre en función del tiempo, por lo que hay un estado estacionario y un estado transitorio.

Un estado estacionario es aquel en que la transferencia de calor no varía respecto al tiempo, así:

Generación de calor:

La generación de calor se expresa mediante la ecuación:

Ésta aplicación es válida para un sistema bidimensional y tridimensional.

Para un sistema unidimensional se tiene:

Para ver la determinación de la ecuación unidimensional de conducción de calor en una pared plana, ir al siguiente link de descarga: 

http://eduportfolio.org/fichiers/download/3047836/1

Eduportfolio.org | Portafolio de William Antonio Cuadro Santana

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